Линейная алгебра №1. Векторы

Тема лекции Векторы. Вектор — это направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве, характеризующийся тремя основными параметрами: -Численное значение (длина) -Направление -Закон геометрического сложения В математике различают следующие типы векторов: -Свободный вектор — класс равных по длине и направлению отрезков, исходящих из разных точек -Связанный вектор — вектор с заданной начальной точкой -Скользящий вектор — вектор, для которого задана направленная прямая действия Длина вектора — это расстояние между началом и концом вектора, всегда неотрицательна. Угол между векторами — это меньший из углов, образованный при совмещении начал векторов. Классификация векторов по взаимному расположению: Коллинеарные — лежат на одной или параллельных прямых Компланарные — лежат в одной плоскости Ортогональные — образуют угол 90° Классификация векторов по направлению: Сонаправленные — коллинеарные векторы с одинаковым направлением Противоположно направленные — коллинеарные векторы с противоположным направлением Основные операции: Сложение векторов — выполняется по правилу треугольника или параллелограмма Вычитание векторов — осуществляется через сложение с противоположным вектором Умножение на число — изменяет длину вектора, сохраняя направление В линейной алгебре векторы используются для: Решения систем линейных уравнений Работы с линейными операторами Нахождения площадей геометрических фигур Вычисления объёмов тел Построения векторных полей В общем случае вектор рассматривается как элемент линейного пространства. При этом векторами могут быть: Направленные отрезки Матрицы Числа Функции Важно отметить, что все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой, что позволяет применять к ним единые методы работы.