Линейная алгебра №5. Линейные преобразования в трехмерном пространстве

Линейное преобразование в трехмерном пространстве — это отображение, которое сохраняет операции сложения векторов и умножения на скаляр. Оно задаётся матрицей 3×3 и действует на векторы из ℝ³. Основные свойства - Преобразование T: ℝ³ → ℝ³ линейно, если для любых векторов u, v и скаляра α выполняется: T(u + v) = T(u) + T(v), T(αu) = αT(u). - Задаётся матрицей A, где для вектора x преобразование T(x) = A·x. Типы линейных преобразований в 3D 1. Поворот — вращение вокруг оси (например, координатной оси) на угол θ. Матрица поворота ортогональна, её детерминант равен 1. 2. Отражение — зеркальное отображение относительно плоскости. Матрица отражения тоже ортогональна, но детерминант -1. 3. Масштабирование — умножение координат на коэффициенты along каждой оси. Например, увеличение или сжатие. 4. Сдвиг (сдвиг по осям) — в трёхмерном линейном преобразовании сдвиг не входит, так как линейные преобразования обязаны сохранять начало координат (сдвиги — аффинные преобразования). 5. Проекция — отбрасывание одной из координат или проекция на подпространство. Матрица преобразования - Любое линейное преобразование в ℝ³ задаётся матрицей A = (a_ij), где i, j = 1..3. - Для вектора x = (x, y, z)^T преобразованный вектор y = A·x = (y1, y2, y3)^T. Особые свойства - Детерминант матрицы показывает, сохраняет ли преобразование ориентацию и объём: - det A ﹥ 0 — ориентация сохранена, - det A ﹤ 0 — ориентация меняется (например, отражение), - det A = 0 — преобразование вырождено, объём сжимается до 0 (трансформация в плоскость или линию). - Собственные векторы и собственные значения показывают направления и коэффициенты растяжения, которые остаются при преобразовании инвариантными. Применения - Компьютерная графика (вращение и преобразование 3D моделей) - Механика и физика (описание деформаций, движений) - Решение систем уравнений и анализ геометрических свойств Линейные преобразования в трёхмерном пространстве — это преобразования, задаваемые матрицами 3×3, сохраняющие начало координат и линейные структуры. Они включают повороты, отражения, масштабирование и проекции и являются фундаментальным инструментом в геометрии и многих прикладных науках.