Линейная алгебра №7. Обратные матрицы, пространство столбцов, нуль-пространство

Обратная матрица - Обратная матрица A⁻¹ существует только для квадратной матрицы A, если det(A) ≠ 0 (матрица невырождена). - Свойство: A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I, где I — единичная матрица. - Обратная матрица позволяет решать систему уравнений A·x = b единственным решением x = A⁻¹ · b. Пространство столбцов (column space) - Это множество всех линейных комбинаций столбцов матрицы A. - Обозначается как Col(A). - Пространство столбцов подпространство ℝⁿ, где n — число строк матрицы. - Размерность пространства столбцов равна рангу матрицы — количеству ее линейно независимых столбцов. - Пространство столбцов описывает все возможные выходы системы уравнений A·x = b. Нуль-пространство (нулевое пространство, null space) - Совокупность всех решений уравнения A·x = 0. - Обозначается Null(A). - Это подпространство ℝᵐ, где m — число столбцов матрицы A. - Нуль-пространство показывает, какие векторы x переходят матрицей A в нулевой вектор. - Размерность нуль-пространства называется нулевымity матрицы и равна количеству свободных переменных системы. Связь между этими понятиями - Для квадратной невырожденной матрицы A пространство столбцов равно ℝⁿ, а нуль-пространство содержит только нулевой вектор. - При этом существует обратная матрица, что гарантирует однозначность решений. - Для вырожденных матриц пространство столбцов может быть строго меньше ℝⁿ, а нуль-пространство — содержать немалый набор не нулевых решений.