Линейная алгебра №11. Векторное произведение в свете линейных преобразований

Векторное произведение — это операция, определённая в трехмерном евклидовом пространстве ℝ³, которая тесно связана с ориентацией и геометрией пространства. Рассмотрим его с точки зрения линейных преобразований. 1. Инвариантность и действие линейных операторов - Векторное произведение — не просто алгебраическая операция, а бинарный оператор, который преобразует пару векторов из ℝ³ в третий вектор в ℝ³. - При действии линейного оператора T: ℝ³ → ℝ³ (матрица 3×3), векторное произведение преобразуется по правилу: T(a × b) = det(T) · (T a) × (T b) - Здесь det(T) — детерминант оператора T. Следствие: - Если det(T) ﹥ 0 (оператор сохраняет ориентацию), то T(a × b) равен векторному произведению образов векторов a и b под T. - Если det(T) ﹤ 0 (оператор меняет ориентацию), то T(a × b) противоположен по направлению (антипараллелен) вектору (T a) × (T b). 2. Связь с внешней алгеброй и мультилинейной алгеброй - Векторное произведение связан с внешним произведением (wedge product) между векторами, которое создаёт 2-формы (бивекторы) в Λ²(ℝ³). - В трёхмерном пространстве существует изоморфизм между плоскостями (2-векторами) и обычными векторами через оператор Хаусдорфа или через ε-символ (левикевича). - Линейные преобразования действуют на 2-векторах через продольный оператор Λ²T, а оператор Хаусдорфа согласует действие Λ²T с действием T на векторах. 3. Геометрический смысл - Векторное произведение соответствует ориентированной площади параллелограмма, образованного векторами a и b. - Линейное отображение T изменяет площадь, умножая её на |det(T)|, и при этом либо сохраняет, либо меняет направление нормали в зависимости от знака det(T). Векторное произведение — это ковариантный способ связывания произведений векторов с ориентацией пространства. Линейные преобразования ℝ³ воздействуют на него через детерминант и образуют естественную связь с ориентацией и внешней алгеброй. Это подчёркивает, что векторное произведение не является просто декартовой операцией, а фундаментальной конструкцией, отражающей структуру и симметрии трёхмерного пространства.