Линейная алгебра №2. Линейные комбинация и оболочка, базисные векторы

Тема лекции Линейная комбинация, линейная оболочка и базисные векторы. Линейной комбинацией векторов v₁, v₂, ..., vₙ называют вектор вида: c₁·v₁ + c₂·v₂ + ... + cₙ·vₙ, где c₁, c₂, ..., cₙ — скаляры (числа). Это способ получить новый вектор из заданных, умножая их на коэффициенты и складывая. Линейной оболочкой множества векторов {v₁, v₂, ..., vₙ} называется множество всех возможных линейных комбинаций этих векторов: span{v₁, v₂, ..., vₙ} = {c₁·v₁ + ... + cₙ·vₙ | cᵢ ∈ R}. Это минимальное линейное пространство, содержащее эти векторы. Базисом векторного пространства называют набор векторов {e₁, e₂, ..., e_k}, которые: 1. Линейно независимы (никакой вектор нельзя представить как линейную комбинацию других). 2. Линейной оболочкой которых является всё рассматриваемое пространство. Базисные векторы позволяют однозначно разложить любой вектор пространства в виде линейной комбинации этих базисных векторов. Размерность пространства равна числу базисных векторов. - Линейная комбинация — способ строить новые векторы. - Линейная оболочка — множество всех таких возможных комбинаций. - Базис — минимальный набор векторов, из которых строится всё пространство, и каждый вектор имеет единственное представление через базисные векторы.