Линейная алгебра №6. Определитель

Определитель — это числовая характеристика квадратной матрицы, которая играет важную роль в линейной алгебре и геометрии. Для матрицы 3×3 определитель отображает, насколько изменяется объём фигуры при линейном преобразовании. Определитель матрицы 3×3 Пусть дана матрица A = | a₁₁ a₁₂ a₁₃ | | a₂₁ a₂₂ a₂₃ | | a₃₁ a₃₂ a₃₃ | Тогда определитель det(A) вычисляется по формуле: det(A) = a₁₁·(a₂₂·a₃₃ − a₂₃·a₃₂) − a₁₂·(a₂₁·a₃₃ − a₂₃·a₃₁) + a₁₃·(a₂₁·a₃₂ − a₂₂·a₃₁) Свойства определителя - det(A) — скаляр. - Определитель показывает масштаб изменения объёма фигуры при преобразовании, заданном матрицей A. - Если det(A) = 0, то объём сжимается до нуля, преобразование вырожденно (векторы линейно зависимы). - Если det(A) ﹥ 0, ориентация пространства сохраняется. - Если det(A) ﹤ 0, ориентация пространства меняется (происходит отражение). - det(AB) = det(A)·det(B) — определитель произведения равен произведению определителей. - det(Aᵗ) = det(A) — определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной. Геометрический смысл Определитель матрицы линейного преобразования в ℝ³ равен коэффициенту растяжения трёхмерного объёма. Например, если начальный объём куба равен 1, после применения преобразования с матрицей A объём преобразованного параллелепипеда будет равен |det(A)|. Определитель матрицы в трёхмерном пространстве — ключевой инструмент, который позволяет понять, меняет ли преобразование объём, ориентацию, и является ли матрица обратимой (det ≠ 0).